Ποιοί Φοβούνται τα Μαθηματικά;

Κυριάκος Παπαδόπουλος* 

Σκέψεις ενός νέου μαθηματικού, πάνω στον κατευθυνόμενο μαθηματικό αναλφαβητισμό στην χώρα μας και στην σταδιακή δημιουργία μιας ελεγχόμενης μάζας. (*)

«Η αλήθεια είναι ότι o μαθηματικός, που δεν κρύβει έναν ποιητή μέσα του, δεν θα γίνει ποτέ τέλειος μαθηματικός» (Karl Weierstrass)

ΜΕΡΟΣ Α’

Προλεγόμενα.

Ο Ροβινσών Κρούσος δεν αξίζει ένα άσπρο για τους διαβασμένους· για κείνους που φιλολογούν. Για λογαριασμό μου, όσο κι αν τον συμπαθώ, μη τυχόν πάρει κανένας πως τον φέρνω ωσάν μέτρο. Έτσι θα ’δειχνα πως οι απαιτήσεις μου από ένα γράψιμο είναι περιορισμένες. Ίσα ίσα, κείνο που κάνει στα μάτια μου την τέχνη πολύτιμη, είναι η απόλυτη ελευθερία που έχει να σοφίζεται και να φτιάνει πράματα που δεν υπήρχαν πριν να τα φτιάξει· νέα πράματα κι όλο νέα κι όλο νέα. Μολαταύτα η θετικότητα, η στενή θετικότητα του Ντι Φόου, είναι θησαυρός δυσεύρετος. Τα ωραιότερα βιβλία που διάβασα (πάντα αυτού του είδους) είναι γραμμένα από ανθρώπους που δεν έχουν την ιδέα πως συγγράφουν. Τέτοια βρήκα στα εγγλέζικα, προ πάντων ημερολόγια κυνηγιού, αρπαγμένα με οικονομία, του καιρού, του χαρτιού, του μελανιού και της φαντασίας· είναι γραμμένα από ανθρώπους, που συχνοχτυπά η καρδιά τους απ’ τη συγκίνηση, που πιάνουν να ιστορήσουν. Δεν είναι οι ακριβοί ρεμβασμοί κάποιου τεμπέλη, που τον τρώγει η έννοια με τι τρόπο να πει ό,τι θέλει να πει, ενώ καλά  καλά δεν έχει να πει τίποτα. [Φώτη Κόντογλου, Πέδρο Καζάς]

Επέλεξα να προλογίσω με τον ακριβό λόγο του Φώτη Κόντογλου, διότι μέσα σ’ αυτή την περιεκτική παράγραφο, από τον Πέδρο Καζάς, εκτίθενται πολλά από αυτά που θα πραγματευτώ σε αυτό το άρθρο: σκέψεις για τα μαθηματικά ως μέσο επικοινωνίας και την ανθρώπινη γλώσσα ως κατασκεύασμα της μαθηματικής λογικής. Μα ποιά είναι αυτή η «στενή θετικότητα» του συγγραφέα του Ροβινσώνα Κρούσου, που σαγηνεύει τον Κόντογλου; Και ποιοί είναι οι «τεμπέληδες»,  «αυτοί που θέλουνε να μας ζεστάνουνε, ενώ οι ίδιοι κινδυνεύουνε να πεθάνουνε από υποθερμία», για τους οποίους ο κυρ Φώτης εκφράζει συχνά-πυκνά αποστροφή;  Γιατί είναι πολυτιμότερο το κείμενο που γράφεται «με την οικονομία του χαρτιού και του μελανιού» από τις πολλές φιλοσοφίες, τις ρητορείες και τις ακατάσχετες φλυαρίες των εκάστοτε «διανοουμένων» της «πρώτης γραμμής»; Και, τέλος, ποιά είναι η σχέση των μαθηματικών με όλα τα παραπάνω;

Ο Ροβινσών Κρούσος είναι ένας τύπος ανθρώπου πρακτικού, ενός μαθηματικού μυαλού που βρίσκεται πάντα σε εγρήγορση κι επιφυλακή. Αυτός ο τύπος πολυμήχανου ανθρώπου εξακολουθεί να υπάρχει στον τόπο μας, αλλά διαπρέπει πια μόνον όταν πάρει την μεγάλη απόφαση να αποδράσει στο εξωτερικό.

Τείνουμε, ιδιαίτερα στον καιρό μας και στον τόπο μας, να δημιουργούμε στεγανά, να βλέπουμε σχεδόν παντού στερεότυπα. Ο μαθηματικός είναι, για τους περισσότερους ανθρώπους, αυτός που βγάζει το ψωμί του από τα μαθηματικά, ένα εξειδικευμένο άτομο, του οποίου το αντικείμενο είναι δυσνόητο έως και ακατανόητο. Για τους λιγότερους, ο μαθηματικός είναι ένας άνθρωπος με πολλές ιδιαιτερότητες, που εξερευνά έναν κόσμο που οι «απλοί» άνθρωποι δεν μπορούν καν να υποψιαστούν. Και στις δυο περιπτώσεις το λάθος που γίνεται είναι υπαρξιακό, και είναι δείγμα γενικευμένης παρακμής: διότι κάθε ένα που γεννιέται σ’ αυτόν τον κόσμο πρέπει να βελτιώνει διαρκώς τα μαθηματικά του. Να βελτιώνει δηλαδή το γλωσσικό του επίπεδο ή, ακόμη σωστότερα, να μάθει να επεξεργάζεται τις πληροφορίες που λαμβάνει από το περιβάλλον του, και να τις ταξινομεί ως προς την αναγκαιότητά τους.  Στην ορθόδοξη Πατερική θεολογία η αρετή αυτή αναφέρεται ως Διάκριση.

Ας προσπαθήσουμε λοιπόν να ψηλαφίσουμε την έννοια των μαθηματικών! Όχι αυτήν που μας μάθανε ως στερεότυπο, αλλά ας διεισδύσουμε στα βαθειά μαθηματικά:  κι εδώ ας μου επιτρέψετε να σας εκμυστηρευτώ από την αρχή, ότι δεν πρόκειται να δώσουμε κανέναν αυστηρό ορισμό. Θα περιηγηθούμε στον κόσμο της λογικής μέσω της διαίσθησης, μέσω του συναισθήματος.

Η Ευθύνη των Μαθηματικών.

Παρακολουθήσαμε, πριν λίγους μήνες, την εξαιρετικά ενδιαφέρουσα συνέντευξη του  Δημήτρη Καζάκη στον Γιώργο Σαχίνη (εκπομπή «Αντιθέσεις», 20/4/2011) όπου, μεταξύ άλλων, ο   προσκαλεσμένος επέρριπτε ευθύνες για την παγκόσμια οικονομική κρίση στους μαθηματικούς. Υποστήριξε ότι πολλοί διαπρεπείς οικονομολόγοι στις μέρες μας είναι μαθηματικοί που ασχολήθηκαν με τα οικονομικά και, αν και διεύρυναν θεωρητικά τους ορίζοντες της οικονομικής επιστήμης, απομακρύνθηκαν από τον κύριο στόχο της, που είναι η κατανόηση της λειτουργίας των μηχανισμών που χαρακτηρίζουν μια πραγματική οικονομία , και η πρόταση επίλυσης των μεγάλων και μικρών προβλημάτων που την διέπουν. Και αυτό, διότι οι μαθηματικοί, όπως διατύπωσε ο κ. Καζάκης, δεν έχουν την κουλτούρα, το υπόβαθρο και την πείρα ενός οικονομολόγου για να κατανοήσουν αυτά τα τεχνικά προβλήματα. Για να το  πούμε πιο απλά, «οι μαθηματικοί κινούνται στον κόσμο των ιδεών», δεν είναι της «πιάτσας», όπως απαιτείται να είναι ένας οικονομολόγος.

Εν μέρει θα συμφωνήσω με τον κ. Καζάκη, αλλά θα διαφωνήσω επί της ουσίας. Και βέβαια το πρόβλημα, στις μέρες μας, είναι ότι η σε μεγάλο βαθμό εξειδίκευση των επιστημών τείνει να αποξενώσει τα γνωστικά αντικείμενα μεταξύ τους.  Ακόμη και μέσα στον κόσμο των μαθηματικών, υπάρχουν τόσες πολλές κατευθύνσεις, που μέχρι και οι κορυφαίοι μαθηματικοί αδυνατούν να παρακολουθήσουν όλες τις εξελίξεις. Αυτή είναι μια πραγματικότητα που πρέπει να την δεχτούμε ως έχει, διότι έχει να κάνει πρώτιστα με τις δυνατότητες αφομοίωσης εννοιών από τον ανθρώπινο εγκέφαλο, στον περιορισμένο χρόνο της ανθρώπινης ζωής. Ωστόσο η διαφωνία μου με τα όσα υποστήριξε ο κ. Καζάκης, για τους μαθηματικούς,  έγκειται στο ότι τα μαθηματικά αποτελούσαν, αποτελούν και θα αποτελούν ανέκαθεν τον συνδετικό κρίκο μεταξύ των επιστημών. Διότι τί είναι τα μαθηματικά; Είναι η γλώσσα της επιστήμης, ο λόγος της, η φωνή της. Αδυνατούν άραγε να καταλάβουν κάτι τόσο θεμελιώδες αυτοί που  εκφέρουν δημόσιο λόγο ή, ακόμη χειρότερα, αυτοί που χαράσσουν πολιτικές για την παιδεία ενός Κράτους;

Σε αυτό το άρθρο θα επιχειρήσουμε να διαχωρίσουμε τα μαθηματικά ως γλώσσα από τα μαθηματικά ως γνωστικό αντικείμενο, και θα προτείνουμε μια καθολική αναθεώρηση του τρόπου με τον οποίο μυείται κανείς στην γλώσσα αυτή, ήδη από τα χρόνια του δημοτικού, αναφερόμενοι στα συγκεκριμένα προβλήματα εκπαίδευσης στην χώρα μας. Διότι πιστεύουμε ότι η έλλειψη ουσιαστικής μαθηματικής παιδείας οδηγεί στην αδρανοποίηση του νου, και στον ευκολότερο έλεγχο των «μαζών» από κέντρα εξουσίας. Η «πρωτοτυπία» μας λοιπόν, σε αυτή την τοποθέτηση, έγκειται στο ότι ενώ οι περισσότεροι διανοούμενοί μας κάνουν λόγο για γλωσσική ανεπάρκεια των πολιτών του ελλαδικού Κράτους, και τονίζουν ότι αυτή είναι και η αφετηρία όλων των δεινών της κοινωνίας, εμείς θα εννοούμε ως γλωσσική ανεπάρκεια τον μαθηματικό αναλφαβητισμό.

Η Μαθηματική Σκέψη.

O διάσημος μαθηματικός Terence Tao, κάτοχος του βραβείου Fields, αναφέρει στον πρόλογο της δεύτερης έκδοσης του βιβλίου του με τίτλο «Solving Mathematical Problems:  A Personal Perspective» [1] ότι στα δεκαπέντε χρόνια από την πρώτη έκδοση έχει αλλάξει δραματικά η ζωή του, οπότε αυτομάτως έχει αλλάξει μαζί και ο τρόπος που σκέφτεται μαθηματικά. Παραθέτει στιγμιότυπα από τα παιδικά και τα εφηβικά του χρόνια, καθώς και από την τωρινή του ζωή σαν ενήλικας, πατέρας και οικογενειάρχης, και περιγράφει την αλλαγή στον τρόπο με τον οποίο αντιλαμβανόταν τα μαθηματικά, σε κάθε φάση της ζωής του χωριστά, αλλά και στις διακυμάνσεις όσον αφορά στον ενθουσιασμό του για αυτή την επιστήμη. Είναι φανερό, από αυτήν την τόσο σημαντική μαρτυρία, αλλά και από πολλές παρόμοιες μεγάλων μαθηματικών, ότι η μαθηματική λογική όχι μόνο δεν είναι αποξενωμένη από την καθημερινότητα, αλλά αποτελεί συγκοινωνούν δοχείο με αυτήν. Είναι τόσο συνυφασμένη με την ανθρώπινη σκέψη, σε σημείο απόλυτης ταύτισης. Βέβαια δεν θα αποτολμήσουμε να επιχειρήσουμε να ερευνήσουμε αν η μαθηματική λογική αποτελεί φυσική λειτουργία του ανθρωπίνου εγκεφάλου, «κατασκευαστικό χαρακτηριστικό» του, ή αν αποτελεί απλά μια κατάκτηση του ανθρώπου μέσα στον χρόνο: η μελέτη της σχέσης αιτίου-αιτιατού δεν μας αφορά, σε αυτό τουλάχιστον το άρθρο. Όμως είναι ανάγκη να τονίσουμε ότι κάθε άνθρωπος που γεννιέται σ’ αυτόν τον κόσμο έχει την δυνατότητα να καλλιεργήσει την μαθηματική σκέψη. Και θα πρέπει να υπογραμμίσουμε ότι αποτελεί επικίνδυνη προκατάληψη η κυρίαρχη άποψη ότι «τα μαθηματικά είναι για τους λίγους» και η βιαστική κι επιπόλαια διαπίστωση  ότι «τα μαθηματικά είναι αποκομμένα από την πραγματικότητα».

Για να κατανοήσουμε τα παραπάνω, είναι ανάγκη να μελετήσουμε την σχέση μεταξύ (μαθηματικής) λογικής και γλώσσας.  Είναι εύκολο να παρατηρήσουμε ότι υπάρχουν άνθρωποι που χειρίζονται την μητρική τους γλώσσα, καθώς και άλλες γλώσσες, με εκπληκτική άνεση. Σχηματίζουν προτάσεις ακολουθώντας με ακρίβεια συντακτικούς κανόνες, και είναι σαφείς και ακριβείς στον λόγο τους. Αυτό δεν σημαίνει κατ’ ανάγκη ότι ένας τέτοιος τύπος ανθρώπου είναι αυτό που ονομάζουμε «μαθηματικό μυαλό».  Υπάρχουν πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί, που έλυσαν πολύπλοκα προβλήματα, και δεν μπόρεσαν σχεδόν ποτέ να εκφραστούν με σαφήνεια, στον δημόσιο λόγο τους. Οι άνθρωποι αυτής της κατηγορίας ξεκινούν πολλές φορές μια πρόταση πριν καν ολοκληρώσουν την προηγούμενη. Ο νους τους «τρέχει» με απίστευτη ταχύτητα, και αδυνατούν να συμπτίξουν τις εικόνες του νου τους σε λέξεις.  Αυτή είναι και μια ένδειξη ότι η σύλληψη μιας ιδέας έρχεται πριν από τον λόγο. Ο λόγος ωστόσο είναι αυτός που θα ολοκληρώσει και θα νοηματοδοτήσει την ιδέα, κάνοντάς την κατανοητή σε ένα ευρύ κοινό, μετατρέποντάς την σε μέσο επικοινωνίας.  Σαν ένα συμπέρασμα λοιπόν, μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι η μαθηματική σκέψη με την γλώσσα μπορούν να κινηθούν και ανεξάρτητα, αλλά είναι ανάγκη η μαθηματική σύλληψη να μπει κάποια στιγμή στο καλούπι του λόγου. Ο δε λόγος, για να είναι αληθινός, πρέπει να είναι εμπνευσμένος, ειδάλλως καταντά ένα σχήμα χωρίς αξία, εφόσον δεν εξυπηρετεί την επικοινωνία. Ο Φώτης Κόντογλου έγραφε, με την χαρακτηριστική απλότητα και γλαφυρότητα που διέκρινε τον λόγο του, «πώς πάς να θερμάνεις τον άλλονα, ενώ κοντεύεις να πεθάνεις από υποθερμία ο ίδιος», εννοώντας ακριβώς αυτό: ο λόγος χωρίς την έμπνευση είναι κενός. Από την άλλη σημείωνε την ανάγκη να είναι ο καθείς «μάστορας στο αντικείμενό του», δηλαδή αυτό που αναφέραμε και παραπάνω, ότι η έμπνευση από μόνη της δεν αρκεί: είναι ο λόγος αυτός που θα έρθει να της δώσει σάρκα και οστά.

Ας πάρουμε μια γεύση απ’ όλα αυτά που υποστηρίξαμε, με ένα όχι και τόσο απλό, αλλά εξαιρετικά σημαντικό παράδειγμα από την θεωρία συνόλων. Οι αναγνώστες που δεν έχουν επαφή με τον μαθηματικό συμβολισμό δεν θα πρέπει να αποθαρρυνθούν, διότι δεν είναι απαραίτητο να το κατανοήσουν για να παρακολουθήσουν αυτό το άρθρο μέχρι τέλους.

Το Αξίωμα της Εξειδίκευσης (Comprehension Axiom) [2] δημιουργήθηκε με την πρόθεση να συστηματοποιηθεί η κατασκευή συνόλων της μορφής {x : P(x)}, όπου το x συμβολίζει ένα σύνολο, ενώ το P(x) μια ιδιότητα του συνόλου x, και διαβάζεται «έστω x ένα σύνολο, που ικανοποιεί μια ιδιότητα P». Για παράδειγμα, ένα τέτοιο σύνολο θα μπορούσε να είναι μια ομάδα φοιτητών που φοιτούν στην νομική (οπότε το x είναι η ομάδα φοιτητών, ενώ το P(x) μας υποδεικνύει ότι οι φοιτητές αυτοί φοιτούν στην νομική). Με τον συγκεκριμένο συμβολισμό ωστόσο υπάρχει ο κίνδυνος να πέσουμε σε μια νοητική παγίδα, να βρεθούμε δηλαδή σε νοηματικό αδιέξοδο.  Διότι μπαίνει κανείς στον πειρασμό να θέσει αξιώματα της μορφής:

«υπάρχει ένα σύνολο y,  τέτοιο ώστε για κάθε σύνολο x, το x ανήκει στο y ισοδυναμεί με μια ιδιότητα φ»

Δυστυχώς με την παραπάνω διατύπωση δημιουργείται μια ασυνέπεια, που διατυπώνεται με το γνωστό Παράδοξο του Ράσελ (Russel’s Paradox). Διότι εάν θέσει κανείς ως φ την ιδιότητα ότι το σύνολο x δεν περιέχεται στον εαυτόν του, τότε καταλήγουμε στην εξής αντίφαση:

«για κάθε σύνολο x, το x εμπεριέχεται σε ένα σύνολο y ισοδυναμεί με το ότι το x δεν εμπεριέχεται στον εαυτόν του». Σαφώς, έτσι καταλήγουμε στο άτοπο ότι εάν το σύνολο y είναι εφοδιασμένο με την ιδιότητα ότι το y ανήκει στον εαυτό του, τότε το y δεν ανήκει στον εαυτόν του.

Βλέπουμε λοιπόν ότι η σωστή, επαρκής και συμβατή διατύπωση των μαθηματικών ιδεών είναι το Α και Ω για την επικοινωνία μεταξύ των μαθηματικών.

Προβλήματα, όπως και τα παραπάνω, λύνονται με αξιωματικές προσεγγίσεις, αλλά δυστυχώς πολλές φορές παραδεχόμενοι κάποια αξιώματα, ενώ λύνουμε κάποια προβλήματα, δημιουργούμε κάποια άλλα. Αυτή είναι φυσικά και η μαγεία των μαθηματικών, αλλά και του ανθρώπινου λόγου.

Κατά ακριβώς τον ίδιον τρόπο με τα μαθηματικά, το γλωσσικό επίπεδο  των ατόμων μιας κοινωνίας αντιπροσωπεύει την νοητική τους καλλιέργεια. Η γλωσσική ανεπάρκεια αναδεικνύει αδρανοποίηση του νου. Η γλωσσική καλλιέργεια, η προσπάθεια δηλαδή νοηματοδότησης των εννοιών και υπέρβασης νοηματικών αντιφάσεων, αποτελεί συγκοινωνούν δοχείο με την φυσική κατάσταση του νου.

Ας επανέλθουμε τώρα στην έμπνευση, η οποία προηγείται των πάντων, διότι χωρίς αυτήν ο λόγος είναι κενός νοήματος. Οι «Αποδείξεις χωρίς λόγια»  [3], του Roger B. Nelsen, είναι ένα από τα σημαντικότερα βιβλία που κυκλοφορούν, αυτή την στιγμή, με ασκήσεις πάνω στην εικονική σκέψη και απόδειξη. Η επιτυχία της πρώτης έκδοσης υπήρξε τόσο μεγάλη, που  πέρα από τις επανεκδόσεις, κυκλοφόρησε και δεύτερος τόμος, με περισσότερες ασκήσεις. Σ’ αυτό το πόνημα παρουσιάζονται εικονογραφημένα  σημαντικά θεωρήματα από την γεωμετρία, την άλγεβρα, την τριγωνομετρία, και τον λογισμό . Πολλές φορές εάν δεν υπήρχε ο τίτλος του (ακόμα και του γνωστότερου) θεωρήματος, ο αναγνώστης θα δυσκολευόταν να το αναγνωρίσει, επειδή τα μαθηματικά σύμβολα έχουν αντικατασταθεί πλήρως από γεωμετρικές εικόνες. Ο αναγνώστης λοιπόν καλείται να κατανοήσει γιατί το συγκεκριμένο γεωμετρικό σχήμα, ή μια συγκεκριμένη εικόνα, αναπαριστά ένα θεώρημα. Πολλές φορές τόσο το θεώρημα όσο και η απόδειξή του είναι παντρεμένα σε μια εικόνα. Σε μερικές περιπτώσεις η απόδειξη δίνεται με ξεχωριστά σχήματα. Με αυτόν τον τρόπο επιτυγχάνεται η εξάσκηση του νου τόσο στην αυθαιρετοποίηση (abstractization), όσο και στην συγκεκριμενοποίηση ιδεών με «χειροπιαστά» παραδείγματα. Παρατηρείται ότι πολλοί μαθηματικοί έχουν ευχέρεια στις πράξεις (που και αυτό αποτελεί δεξιότητα από μόνο του), αλλά αδυνατούν να συγκεκριμενοποιήσουν μέσα τους με μια (αυθαίρετη έστω) εικόνα τις ιδέες πάνω στις οποίες εργάζονται. Η εξάσκηση στην εικονική σκέψη οδηγεί στην όξυνση του νου, στην διεύρυνση της φαντασίας. Εδώ ωστόσο θα πρέπει να είμαστε προσεκτικοί: ο ίδιος ο συγγραφέας υπογραμμίζει, στην εισαγωγή του έργου αυτού, ότι η εικόνα από μόνη της μπορεί από την μια να μας δείξει τον δρόμο της επίλυσης [4], αλλά τονίζει ότι οι εικονογραφημένες αποδείξεις δεν μπορούν να θεωρηθούν ολοκληρωμένες. Ένα σχήμα, μια εικόνα μας δείχνει μεν σε ποιά κατεύθυνση βρίσκεται η λύση, όμως ο λόγος, η λογική αλληλουχία προτάσεων θα δώσει την ολοκληρωμένη απάντηση. Ήδη, από τα παραπάνω, μπορεί κανείς να βγάλει το συμπέρασμα ότι τα μαθητικά και ο ανθρώπινος νους, η λογική και η ανθρώπινη γλώσσα, αλληλοεξαρτώνται, αν δεν ταυτίζονται.

Πριν  περάσουμε στο δεύτερο μέρος του άρθρου αυτού, στο οποίο θα συγκεκριμενοποιήσουμε με παραδείγματα τους προβληματισμούς που έχουν ήδη τεθεί, αφήνουμε ως νοητική άσκηση για τον αναγνώστη το παραπάνω σχήμα, το οποίο βρίσκεται και στο βιβλίο «Proofs Without Words» [3], του Nielsen, και το οποίο αποτελεί «απόδειξη χωρίς λόγια» του πυθαγορείου θεωρήματος, παρμένη από αρχαίο κινεζικό χειρόγραφο (Zhou bi juan jin, 200 π.Χ.).

ΜΕΡΟΣ Β’

Για να ζωντανέψω λίγο το, ίσως μονότονο μέχρι στιγμής, κείμενό μου, θα αναφερθώ σε ευχάριστες μαθηματικές συναντήσεις, που αναπαριστούν ανάγλυφα τις ιδέες που παρουσίασα στο πρώτο μέρος του άρθρου.

Μαθηματικές Συναντήσεις.

Στον Κήπο του Δρ Gardiner

Μια ηλιόλουστη μέρα του Ιουνίου του 2010 ήμαστε καλεσμένοι στον κήπο του Δρ Gardiner, σε μια πλούσια συνοικία του Birmingham κοντά στο πανεπιστήμιο, δίπλα στο κανάλι. Η πρόσκληση ήταν ανοιχτή σε καθηγητές και σε μεταπτυχιακούς φοιτητές. Παραβρεθήκαμε αρκετοί: άλλωστε ο κήπος είναι τεράστιος κι επιβλητικός, με μεγάλα δέντρα, τριανταφυλλιές,  και γκαζόν, σωστό πάρκο!  Αφορμή της πρόσκλησης ήταν ένα ηλεκτρονικό μου μήνυμα προς τον Δρ Gardiner, στο οποίο του έστελνα, ως συνημμένο αρχείο, την καινούργια μου «ανακάλυψη»: ένα βιβλιαράκι με τον αινιγματικό τίτλο «Maths Better Explained», πόνημα ενός φοιτητού του πανεπιστημίου του Princeton, του Kalid Azad [9]. Ο καθηγητής Gardiner μελέτησε με προσοχή το βιβλιαράκι αυτό, και μου πρότεινε να οργανώσουμε μια συζήτηση στον κήπο του. Η ταπεινότης μου εξεπλάγην, και πίστεψα, προς στιγμήν, ότι είχα βγάλει «λαβράκι», με αυτή την μικρή μου «ανακάλυψη»!

Η γνώμη του Δρ Gardiner έχει βαρύνουσα σημασία πάνω σε θέματα μαθηματικής παιδείας, διότι πέρα από μια αξιοζήλευτη καριέρα ως αλγεβρίστας, διετέλεσε επί χρόνια προγυμναστής της μαθηματικής ολυμπιακής ομάδας της Μεγάλης Βρετανίας, και  υπήρξε ένας από τους θιασώτες της μαθηματικής ολυμπιακής ιδέας, εμπνέοντας χιλιάδες νέους στην Αγγλία να ασχοληθούν με τα μαθηματικά. Αλλά προσέξτε: με τα μαθηματικά ως γλώσσα, ως στάση ζωής, και όχι απλά με τα μαθηματικά ως τεχνική. Δεν είναι τυχαίο άλλωστε ότι ο διάσημος καθηγητής Timothy Gowers, του πανεπιστημίου του Cambridge, επέλεξε τον Δρ Gardiner για να την συγγραφή του άρθρου «The Art of Problem Solving», στο μνημειώδες έργο «The Princeton Companion to Mathematics» [5].

Η κυρία Gardiner ετοίμασε μεζέδες, και μας προσέφερε ποτά και αναψυκτικά. Αβραμιαία η φιλοξενία της, για βορειοευρωπαία! Ήδη είχαμε συγκεντρωθεί αρκετοί μεταπτυχιακοί και καθηγητές, και αφού περιηγηθήκαμε στον κήπο, καθίσαμε σε ξύλινα σκαμπό. Ομολογώ ότι επικράτησε κάποια αμηχανία στην αρχή, αφού στην ουσία κανείς δεν ήξερε τον ακριβή λόγο της πρόσκλησης. Στο ηλεκτρονικό μήνυμα γινόταν λόγος για ένα ενδιαφέρον βιβλίο, για  ένα ποτό στον κήπο, αλλά τίποτα παραπάνω...οι ξηροί καρποί και οι λιχουδιές της κ. Gardiner, καθώς και η θρασύτητα ενός κοκκινολαίμη που δεν δίσταζε να έρθει στο τραπέζι για να «κλέψει» μια λιχουδιά, μας έβγαζαν κάπως από την αμηχανία που δημιουργούσε η σιωπή, μέχρις ότου ο σύζυγός της πάρει μιαν ανάσα, και να ξεκινήσει ένα λογύδριο, όπως το συνηθίζουν οι Άγγλοι, «σήμερα βρεθήκαμε εδώ με αφορμή ένα μήνυμα του νεαρού από ‘δω» -δείχνοντας εμένα. Εγώ εντωμεταξύ φούσκωσα σαν παγώνι, θεωρώντας ότι θα πλέξει το εγκώμιό μου, αλλά βιάστηκα... «ο ανήσυχος αυτός νεαρός έρχεται συνήθως με πολλές ερωτήσεις, θέλει να βρίσκει τί κρύβεται πίσω από μια μαθηματική ιδέα! Και φυσικά του ερέθισε την φαντασία ο τίτλος αυτού του βιβλίου, «Maths Better Explained». «Maths Better Explained!» « Τί σημαίνει «Maths Better Explained!  Έχει ουσιαστικό νόημα μια τέτοια πρόταση; Μπορούν να εξηγηθούν τα μαθηματικά «καλύτερα»; Πόσο «καλύτερα»; Και ποιός είναι αυτός που μπορεί να το κρίνει αυτό;». Κι έτσι ξεκίνησε μια σε βάθος συζήτηση πάνω στην μαθηματική λογική και στην ουσία των μαθηματικών. Σε κάποια στιγμή αναφερθήκαμε σε κομμάτια του βιβλίου, όπου ο Δρ Gardiner εξέφρασε τις επιφυλάξεις του ως προς την χρησιμότητα τέτοιων πονημάτων, θεωρώντας ότι ο συγγραφέας του εν λόγω έργου πέφτει σε μια παγίδα: δημιουργεί έναν φαύλο κύκλο μεταξύ «αιτίου» και «αιτιατού», που στην ουσία δεν διαφωτίζει ποτέ. Ας αναφέρουμε ένα παράδειγμα.

Όλοι μας γνωρίζουμε, ήδη από το δημοτικό, ότι η μοίρα είναι μονάδα μέτρησης των γωνιών. Επίσης, σχεδόν όλοι θυμόμαστε πόσο δυσκολευτήκαμε να κατανοήσουμε την έννοια του ακτινίου, που ήρθε στο γυμνάσιο/λύκειο να εκθρονίσει «βίαια» την μοίρα: πολλοί μαθητές, ακόμα και φοιτητές, κάνουν υπολογισμούς που περιλαμβάνουν γωνίες σε ακτίνια, αλλά δεν καταλαβαίνουν την διαφορά μοίρας και ακτινίου. Αρκούνται στην σκέψη ότι η ευθεία είναι μια γωνία 180 μοιρών και π ακτινίων, χωρίς να εντοπίζουν την βασική διαφορά των δύο μονάδων μέτρησης. Το προαναφερθέν βιβλίο έρχεται να μας διαφωτίσει, χρησιμοποιώντας μια γλώσσα που αποφεύγεται στα επίσημα μαθηματικά συγγράμματα. Στην συγκεκριμένη περίπτωση ο συγγραφέας διερωτάται, αν είναι άραγε τυχαίο ότι ο κύκλος χωρίζεται σε 360 μοίρες, ενώ ο χρόνος έχει 365 περίπου ημέρες. Αυτή η ερώτηση εντάσσεται στις πρωτογενείς ερωτήσεις που πρέπει να κάνει κανείς, όταν μελετά ένα πρόβλημα. Ο Khalid την ονομάζει «ερώτηση του ανθρώπου του σπηλαίου» (caveman’s question). Είναι μια ερώτηση που πηγάζει από την απλή και ανεπιτήδευτη περιέργεια του ανθρώπου  να μάθει περισσότερα για το περιβάλλον στο οποίο ζει. Τέτοιες ερωτήσεις, απλές, περιμένουμε συνήθως από ένα παιδί. Τέτοιες ερωτήσεις έκανε και ο Einstein στον εαυτό του (γι’ αυτό και το σύγγραμμά του πάνω στην Γενική Θεωρία της Σχετικότητας είναι μεστό παραδειγμάτων παρμένα από την καθημερινότητα, με αναφορές σε τραίνα και παρατηρητές). Η απάντηση λοιπόν, στο συγκεκριμένο ερώτημα με τις μοίρες, έρχεται από τις επιστήμες της αρχαιολογίας και της ιστορίας: οι λαοί στην αρχαιότητα παρατηρούσαν ότι οι αστερισμοί αλλάζουν θέση, με το πέρασμα του χρόνου, ως προς ένα σταθερό σημείο παρατήρησης, και «επανέρχονται» στο ίδιο σημείο στον ουρανό, μετά από 360 ημέρες, περίπου. Θα λέγαμε ότι οι αστερισμοί «κάνουν έναν κύκλο» σε 360 μέρες, μετακινούμενοι κάθε μέρα μία μοίρα. Το εύλογο ερώτημα βέβαια είναι «τότε προς τί χρησιμεύουν τα ακτίνια, τί παραπάνω προσθέτουν που δεν το διαθέτουν οι μοίρες». Η απάντηση έρχεται πάλι αβίαστα: η μοίρες είναι η οπτική γωνία του παρατηρητή, που βλέπει από σταθερή θέση ένα αντικείμενο να διαγράφει κυκλική τροχιά. Τα ακτίνια είναι η οπτική γωνία αυτού που διαγράφει την κυκλική τροχιά. Αυτός που διαγράφει κυκλική τροχιά μετράει την απόσταση που ο ίδιος διήνυσε, σαν να κινείται σε ευθεία γραμμή. Ένα τόξο δηλαδή αντιστοιχεί σε ευθύγραμμο τμήμα: είναι μια απόσταση μεταξύ δύο σημείων. Το επόμενο βήμα είναι να καταλάβει κανείς γιατί διαιρούμε το μήκος τόξου με την ακτίνα του κύκλου, προκειμένου να μετατρέψουμε την μονάδα μέτρησης σε ακτίνια: αυτό αποτελεί το δεύτερο βήμα, το «εξελικτικό» (evolutionary), όπως αναφέρει ο Khalid στο βιβλίο του: αυτό το βήμα μας απομακρύνει νοητικά από τον άνθρωπο του σπηλαίου, μας εκσυγχρονίζει. Αποδεχόμενοι ότι ένας κύκλος έχει μήκος 2π ακτινίων, παρατηρούμε ότι αν η ακτίνα είναι r, το μήκος του κύκλου ισούται με 2πr/r. Μπορεί κανείς να συνεχίσει αυτό το παιγνίδι με τις έννοιες, και γρήγορα θα συνειδητοποιήσει ότι στην ουσία τα ακτίνια μας δίνουν περισσότερες πληροφορίες για την κυκλική κίνηση, απ’ ότι οι μοίρες. Με την βοήθεια των ακτινίων μπορούμε να μετασχηματίσουμε την περιστροφική κίνηση σε γραμμική. Για παράδειγμα, αντιλαμβανόμαστε την τροχιακή κίνηση ενός δορυφόρου, γύρω από την γη, σε μίλια ανά ώρα, και όχι σε μοίρες ανά ώρα. Αν διαιρέσουμε με την απόσταση του δορυφόρου από την γη, θα πάρουμε την τροχιακή κίνηση του δορυφόρου σε ακτίνια ανά ώρα: όπως αναφέρει ο Khalid «δεν χρειάζεται να είμαστε σταθεροί σε ένα σημείο, και να περιμένουνε τον δορυφόρο να κινηθεί, προκειμένου να μετρήσουμε σε μοίρες την απόσταση που έχει διανύσει: ο ίδιος ο δορυφόρος μας πληροφορεί για την απόσταση που έχει διανύσει, στον χρόνο».

Η συζήτηση συνεχίστηκε και με άλλα παραδείγματα που αναφέρονται στο βιβλίο: πάνω στην γεωμετρία, την άλγεβρα και την ανάλυση. Έννοιες που μάθαμε μηχανιστικά, στο σχολείο ή στο πανεπιστήμιο, ζωντάνευαν μπροστά μας, αποκτούσαν σάρκα και οστά: η εξίσωση i^2 = -1 ισοδυναμεί με 1*i^2 = -1. «Τί μετασχηματισμός μπορεί να μετατρέψει το 1 σε -1; Μα φυσικά η περιστροφή του 1, αριστερόστροφα, 90 μοίρες και ξανά 90 μοίρες, δηλαδή i*i». Έτσι οι φανταστικοί αριθμοί μας δείχνουν περιστροφή στο επίπεδο! Τί είναι λογάριθμος και τί συμβολίζει ο αριθμός e; Τί μυστικό «κρύβει» μέσα της η φόρμουλα του Euler; Ποιά η σχέση της έννοιας του εμβαδού με τον τετραγωνισμό ενός ευθύγραμμου τμήματος; Το πυθαγόρειο Θεώρημα αναφέρεται μόνο σε τρίγωνα; Γιατί όχι και σε κύκλους, φερ’ειπείν...όλα αυτά, και πολλά άλλα ερωτώνται και απαντώνται στο πόνημα του Khalid Azad, ο οποίος αδιαμφισβήτητα προσφέρει μεγάλες υπηρεσίες στην διδακτική των μαθηματικών. Πού λοιπόν διαφώνησε ο Δρ Gardiner, βγάζοντας «νοκ άουτ» το βιβλίο με «συνοπτικές διαδικασίες»; Στο σημείο που αυτοπαγιδεύεται και ο ίδιος ο Khalid: η έμπνευση, το πρώτο βήμα στην δημιουργία, ταυτίζεται με την μοναδικότητα του Προσώπου. Το «εύρηκα» είναι προσωπική υπόθεση του καθενός. Ναι μεν ο τρόπος που θα συνθέσει κάποιος τις ιδέες του πρέπει να είναι κοινά αποδεκτός, αλλά είναι αδύνατον να περιγραφεί επαρκώς η στιγμή της έμπνευσης, η στιγμή της αποκάλυψης της ιδέας. Γι’αυτό αυτή την στιγμή τείνω να συμφωνήσω με τον Δρ Gardiner: ένα εγχειρίδιο εκλαΐκευσης μαθηματικών νοημάτων φαντάζει σαν ένα εγχειρίδιο εκλαΐκευσης και υπεραπλούστευσης, φερ’ειπείν, της γλώσσας του Παπαδιαμάντη. Και βέβαια το σύγγραμμα του Khalid αποτελεί θησαυρό ιδεών, διότι από μόνο του εμπνέει, εκθέτοντας την δημιουργικότητα του νου του. Σε καμία περίπτωση ωστόσο δεν μπορεί να αποτελεί υπόδειγμα μαθηματικής σκέψης. Διότι, πολύ απλά, η έμπνευση δεν διδάσκεται.

PG Math-Soc και Robert’s Seminar

Στο ακαδημαϊκό έτος 2009/10 είχα την εξαιρετική τιμή να διατελέσω ταμίας του μαθηματικού συλλόγου, των υποψηφίων διδακτόρων του πανεπιστημίου του Birmingham. Νομίζω ότι εκμεταλλεύθηκα το πόστο μου στο έπακρον, για να έρθω σε επαφή με πολύ σημαντικές προσωπικότητες στον κόσμο των μαθηματικών. Θα απαριθμήσω τις σημαντικότερες από αυτές τις επαφές, δίνοντας έμφαση σε αυτά που αποκόμισα από τις γνώσεις και την πείρα των προσκεκλημένων μας.

Στις 22 Μαρτίου, του 2010, είχα την τιμή να διοργανώσω μια ημερίδα πάνω στην γεωμετρία του Ευκλείδη. Προσκαλεσμένοι ομιλητές ήταν ο γνωστός μας Δρ Gardiner και ο Στέφανος Αρετάκης, από το πανεπιστήμιο του Cambridge. Γνώριζα τον Στέφανο από παλιότερα, όταν βρέθηκα στην Πάτρα για ένα μεταπτυχιακό: έχει κερδίσει το χάλκινο μετάλλιο στην παγκόσμια ολυμπιάδα μαθηματικών (Ιαπωνία 2003), και ολοκληρώνει την συγγραφή του διδακτορικού του πονήματος, με έναν κορυφαίο μαθηματικό στην Γενική Θεωρία της Σχετικότητας, τον καθηγητή Μ. Δαφέρμο (μαθητή του παγκοσμίως γνωστού και πολυβραβευμένου μαθηματικού Δ. Χριστοδούλου). Η πρόσκλησή μου αφορούσε κυρίως στις γνώσεις του πάνω στην Ευκλείδεια γεωμετρία, την οποία κατέχει όσο λίγοι στον κόσμο. Η ομιλία του εξέπληξε, σε σημείο να υπάρχουν χειροκροτήματα ενδιάμεσα, μετά το τέλος κάθε απόδειξης, πριν ολοκληρωθεί η ομιλία, κάτι πολύ σπάνιο στον χώρο των μαθηματικών.. Από ένα σημείο και μετά θαρρώ πως χαθήκαμε μέσα σε πολύπλοκα σχήματα, όλα ζωγραφισμένα στον πίνακα με εκπληκτική ακρίβεια: ο Στέφανος μας παρουσίασε σύγχρονα προβλήματα των μαθηματικών, μεταφρασμένα στην απλή γλώσσα της γεωμετρίας του Ευκλείδη. Στο τέλος τον παρακάλεσα θερμά να μου δώσει κάποια πηγή, όπου θα μπορούσα να μάθω, έστω και λίγα από τα πράγματα που μας παρουσίασε: η απάντησή του ήταν «βρες την Γεωμετρία των Ιησουϊτών και λύσε τα προβλήματά τους: θα γίνεις αυθεντία στην γεωμετρία και την στερεομετρία». Νόμιζα ότι αστειεύεται, αλλά γρήγορα έμαθα ότι αυτό το βιβλίο υπάρχει στο πατρικό μου σπίτι, και δεν του έδωσα ποτέ σημασία: ο πατέρας μου το είχε βρει στα φοιτητικά του χρόνια, σε παλαιοπωλείο, κι έλυσε πάνω από τα μισά του προβλήματα και αποδείξεις. Είναι μια έκδοση του 1955, σε ελληνική μετάφραση, και σίγουρα το αντίτυπο αυτό είναι εξαιρετικά σπάνιο. Ένιωσα δέος για τον πατέρα μου και την γενιά του. «Τελικά όσοι δεν διδαχτήκαν ευκλείδεια γεωμετρία είναι αναλφάβητοι» σκέφθηκα. Να γιατί αυτοί οι άνθρωποι παρήγαγαν τόσα πολλά, σε τόσο μικρό διάστημα χρόνου. Αναρωτιόμουν, και αναρωτιέμαι: ποιός σκότωσε την γεωμετρία στον τόπο μας! Νομίζω ότι θα μου πάρει πολλά χρόνια για να μελετήσω έστω και το ένα τέταρτο του βιβλίου των Ιησουϊτών. Όσο μικρότερος μυηθεί κανείς στις σχηματικές αποδείξεις, τόσο πιο γερά μαθηματικά θεμέλια θα αποκτήσει. Ίσως σε αυτό το σημείο να κρίνεται και η ποιοτική διαφορά ενός ιδιαίτερα παραγωγικού ατόμου από τον μέσο όρο: η μύηση σε αυτόν τον τρόπο σκέψης από μικρή ηλικία είναι αυτό που κάνει την διαφορά.

Μετά την ομιλία του Στέφανου, καθηγητές και υποψήφιοι διδάκτορες συζητήσαμε στο «common room» του μαθηματικού μας τμήματος, με τσάι και μπισκότα. Εκεί ο Δρ Gardiner μας διηγήθηκε και τις εμπειρίες του από την πρόσφατή του επίσκεψη στην Αθήνα. Είχε γνωρίσει τον κ. Απόστολο Δοξιάδη, όταν μας επισκέφτηκε για να παρουσιάσει το LOGICOMIX του, και έλαβε πρόσκληση από τον σύλλογο «Θαλής και Φίλοι» για να δώσει μια ομιλία στο Μπενάκειο Ίδρυμα. Οι απόψεις του για την μαθηματική Παιδεία στην Ελλάδα θα απαιτούσαν την συγγραφή ενός ξεχωριστού, μακροσκελέστατου άρθρου. Θα αναφερθώ μοναχά σε δυο διαπιστώσεις του, τις οποίες εξέφρασε μπροστά σε πολύ κόσμο: οι μαθητές είναι ιδιαίτερα έξυπνοι, το ανθρώπινο δυναμικό τον εξέπληξε για την ποιότητά του. Απογοητεύτηκε απίστευτα όμως για τις συνθήκες διδασκαλίας στα σχολεία και, πόσο μάλλον, για την άγνοια των διδασκόντων για το πως πρέπει να διδάσκονται τα μαθηματικά. Θεώρησε πάντως την προσπάθεια που καταβάλλει ο σύλλογος «Θαλής και Φίλοι» μια αχτίδα ελπίδας για τον τόπο: και δεν έκρυψε ποτέ την συμπάθειά του για τον κ. Δοξιάδη.

Στις 11 Νοεμβρίου, του 2009, ήταν επιθυμία του κ. Δοξιάδη να ξεναγηθεί στην πινακοθήκη του Birmingham, πριν την ομιλία του στον σύλλογό μας: μαζί του ήταν και ο σκιτσογράφος, ο κ. Αλέκος Παπαδάτος. Μου ‘ρθε στο νου η ρήση του Weierstrass, την οποία παραθέτω στην αρχή αυτού του άρθρου...Περάσαμε ένα πραγματικά όμορφο απόγευμα, απολαμβάνοντας το πηγαίο ταλέντο του κ. Δοξιάδη. Η ομιλία του για το συγγραφικό έργο του και την μαθηματική λογική κατέληξε σε έναν δημιουργικό διάλογο. Μεταξύ των πολλών σημαντικών πραγμάτων που ειπώθηκαν, συγκρατώ την κριτική του κ. Δοξιάδη για την ταινία «Good Will Hunting», του Matt Damon. «Η ταινία είναι καλή, αλλά περνά λάθος μήνυμα», ανέφερε ο κ. Δοξιάδης. «Ένα ταλέντο λύνει δύσκολα προβλήματα χωρίς να γογγύξει, χωρίς να κουραστεί! Αυτό δεν συμβαίνει στα μαθηματικά». Και πώς θα μπορούσαμε να διαφωνήσουμε με τον κ. Δοξιάδη, εφόσον στο πρώτο μέρος του άρθρου παραθέσαμε με τον πλέον γλαφυρό τρόπο την χαοτική απόσταση που πρέπει να καλύψει κάποιος από την στιγμή της έμπνευσης, μέχρι την ολοκλήρωση και την συγγραφή μιας ιδέας.

Ξεχωριστή εμπειρία ήταν και η ομιλία του κ. Μ. Δαφέρμου (παν. του Cambridge), που είχαμε την τιμή να προσκαλέσουμε στα πλαίσια του Roberts Seminar. Μας τόνισε ξανά και ξανά πως τίποτα δεν είναι δύσκολο στα μαθηματικά, από την στιγμή που γίνει επέκταση του εαυτού μας. «Επέκταση του εαυτού μου τα μαθηματικά», σκέφτομαι και ξανασκέφτομαι...αυτό δένει τόσο με την αντίληψη του κ. Δοξιάδη ότι «αν δεν πονέσει κανείς δεν παράγει στα μαθηματικά, όσο ταλαντούχος και να είναι», καθώς και με την αποστροφή του Δρ Gardiner για εγχειρίδια με «έτοιμες μαθηματικές πατέντες». Ο κ. Δαφέρμος μας το απέδειξε αυτό στην πράξη, αφού μετά από δύο συνεχείς ώρες ομιλίας, συνέχιζε να μιλάει με πάθος για την έρευνά του και στο διάλειμμα, απαντώντας σε κάθε ερώτηση του ενθουσιασμένου κοινού, και δεν έδειξε την παραμικρή κούραση, ούτε στο επόμενο συνεχόμενο δίωρο, χωρίς να πιει ούτε μια γουλιά νερό από το ποτήρι που του προσφέραμε! Νομίζω ότι από αυτή την εμπειρία ανέβηκε αρκετά ο πήχης, και γνωρίζουμε πια ότι όχι μόνο δεν ξεπερνούμε τον εαυτό μας, αλλά ούτε καν αγγίζουμε τα όριά του.

ΜΕΡΟΣ Γ’

Μετά την διήγηση ευχάριστων μαθηματικών συναντήσεων στο δεύτερο μέρος του άρθρου, συναντήσεις που έλαβαν χώρα στο Birmingham της Αγγλίας και στις οποίες ειπώθηκαν εξαιρετικά ενδιαφέροντα πράγματα για τα θεμελιώδη μεγέθη που αναφέραμε στο πρώτο μέρος του άρθρου αυτού, θα ήθελα να αναφερθώ σε πρακτικές μεθόδους που αν εφαρμοστούν, δίνουν -αποδεδειγμένα ιστορικά- εντυπωσιακά αποτελέσματα σε μια κοινωνία. Αν ο προβληματισμός και το φιλοσοφείν μας βοηθούν στο να εντοπίσουμε τα προβλήματα, η πρακτική εξάσκηση μας βοηθά στο να τα επιλύσουμε. Μια κοινωνία αποχαυνωμένη, με τον μέσο όρο καθημερινής τηλεθέασης να την τοποθετεί στην κορυφή των τηλεορασόπληκτων στην Ευρώπη, και όχι μόνο, μια κοινωνία χωρίς αντανακλαστικά, μια κοινωνία που δεν παράγει είναι και η δική μας. Ας εξερευνήσουμε το γιατί, συγκρίνοντάς μας με άλλες κοινωνίες.

Τα Προβλήματα της Μόσχας

Σαν μεταπτυχιακός φοιτητής, στο πανεπιστήμιο του Λίβερπουλ, είχα την τύχη να εργαστώ στο Math-Club, το οποίο λάμβανε (και εξακολουθεί να λαμβάνει) χώρα μια φορά τον μήνα στο μαθηματικό Τμήμα. Τα μέλη του συλλόγου αυτού είναι επίλεκτοι μαθητές από την περιοχή Northwest, της Μεγάλης Βρετανίας, οι οποίοι συναντώνται στον πανεπιστήμιο του Λίβερπουλ για να εξασκηθούν στην επίλυση μαθηματικών προβλημάτων, να διευρύνουν τους μαθηματικούς τους ορίζοντες και να διακριθούν σε μαθηματικούς διαγωνισμούς. Τα παιδιά αυτά είναι τα μελλοντικά «μεγάλα μυαλά» για την περιοχή τους και, γιατί όχι, και για την χώρα τους. Xώρια από το Math-Club, πολλές φορές συνόδευα τον τότε πρόεδρο του Τμήματος, τον διάσημο γεωμέτρη Peter Giblin, σε σχολεία της περιοχής. Ο ρόλος μου, σε όλες τις περιπτώσεις, ήταν να υποστηρίζω τους μαθητές που είχαν κάποιο ιδιαίτερο πρόβλημα, δείχνοντάς τους μονοπάτια επίλυσης των ασκήσεων, χωρίς ωστόσο να τους προσφέρω έτοιμη τροφή: οι μαθητές έπρεπε να αναμετρηθούν με τα προβλήματα στηριζόμενοι αποκλειστικά στις δυνάμεις τους. Με λύπη, και παράπονο για το διαρκώς μεταβαλλόμενο εκπαιδευτικό περιβάλλον στην χώρα μου, θα αναφέρω ότι ήταν η πρώτη φορά που βρέθηκα κι εγώ αντιμέτωπος με «μαθηματικά παζλ», με προβλήματα δηλαδή για τα οποία υπάρχει η λύση, αλλά καλείται ο μαθητής να ακονίσει το μυαλό του για να την ανακαλύψει. (Και δεν αναφέρομαι αποκλειστικά σε τεχνικές ασκήσεις, αλλά σε πραγματικά μαθηματικά προβλήματα, τα οποία δεν έχουν χώρο στα εκπαιδευτικά βιβλία στην πατρίδα μας την Ελλάδα!). Η διαδικασία επίλυσης τέτοιων προβλημάτων δημιουργεί, σταδιακά, τον μελλοντικό ερευνητή, ο οποίος θα έρθει αντιμέτωπος με προβλήματα για τα οποία δεν έχει βρεθεί λύση. Ωστόσο, γενικότερα, η μύηση των μαθητών στην επίλυση τέτοιων προβλημάτων, από πολύ μικρή ηλικία, δημιουργεί, με την πάροδο του χρόνου, πολίτες σκεφτόμενους, με διανοητικές ικανότητες αξιοζήλευτες. Γι’ αυτόν ακριβώς τον λόγο είναι λάθος να θεωρούμε ότι η εξάσκηση σε μαθηματικά παζλ αφορά αποκλειστικά τον μελλοντικό επιστήμονα [7]. Για να επιστρέψω στο θέμα μας που είναι το Math-Club του Λίβερπουλ: υπήρχαν φορές που στεκόμουν αμήχανος μπροστά σε μαθητές που μου αποκάλυπταν την στρατηγική τους για την επίλυση ενός προβλήματος, και δεν μπορούσα να την παρακολουθήσω. Τα παιδιά αυτά, των οποίων οι ηλικίες κυμαίνονταν από δώδεκα ως δεκαεπτά χρονών, ήταν από χρόνια γυμνασμένα στην επίλυση μαθηματικών παζλ, και είχαν γίνει άσσοι στα μαθηματικά.

Μια σημαντική ημερίδα στα πλαίσια του Math-Club, η σημαντικότερη κατά την γνώμη μου, υπήρξε το σεμινάριο του καθηγητού Β. Ζακαλιούκιν, ο οποίος έχει έδρα ταυτοχρόνως στο Λίβερπουλ και στην Μόσχα. Ο καθηγητής Ζακαλιούκιν παρουσίασε μια σειρά προβλημάτων που την ονόμασε «προβλήματα-πρόκληση, από την Μόσχα». Μου έδωσε ένα αντίγραφο του φυλλαδίου που μοίρασε στους ταλαντούχους μαθητές, και ξεκίνησε την παρουσίαση των προβλημάτων, στυλ σεμιναρίου. Μετά από τις απαραίτητες επεξηγήσεις, ξεκίνησε ο χρόνος όπου οι μαθητές έπρεπε να ακονίσουν καλά το μυαλό τους! Ομολογώ ότι ήταν η πρώτη φορά όπου δέχθηκα τόσες λίγες ερωτήσεις: τα προβλήματα αυτά δεν ήταν ούτε στο ελάχιστο τεχνικά, αλλά ήταν πρακτικά προβλήματα και προβλήματα γεωμετρίας, παρμένα από την καθημερινότητα στην Ρωσίας. Αποτελούσαν απόσταγμα εμπειρίας δεκαετιών: τέτοια προβλήματα ετίθεντο στους μαθητές στα σχολεία, επί Σοβιετικής Ένωσης, και σκοπός τους δεν ήταν απλά να προβληματίσουν, αλλά να μυήσουν τους μαθητές σε έναν συγκεκριμένο τρόπο σκέψης, σε ένα περιβάλλον ανταγωνιστικό. Θαρρώ πως όλοι σαγηνευτήκαμε από το βάθος και την ποιότητα αυτών των ασκήσεων: από εκείνη την στιγμή υποσχόμουν στον εαυτό μου, συχνά -πυκνά, να ρωτήσω τον καθ. Ζακαλιούκιν για τις πηγές του. Δεν το έκανα ποτέ...

Η αλήθεια είναι ότι η ρουτίνα της καθημερινότητας, και οι απαιτήσεις των σπουδών μου, μ’έκαναν να ξεχάσω για αρκετό καιρό τα Παζλ της Μόσχας: ήταν γραφτό να τα ξανασυναντήσω πολύ αργότερα, τυχαία, σ’ένα ράφι γνωστού βιβλιοπωλείου της Οξφόρδης [8], όπου βρέθηκα στα πλαίσια του κοινού μας σεμιναρίου BOATS (Birmingham-Oxford Analytic Topology Seminar). Τόσο εγώ, όσο και ο συμφοιτητής μου από το Birmingham, ο Άντριου, το αγοράσαμε, και μόλις φτάσαμε στο Ινστιτούτο των Μαθηματικών της Οξφόρδης, παραγγείλαμε τσάι, και καθίσαμε στα τραπεζάκια-πίνακες, όπου μπορεί κάποιος να γράψει στις επιφάνειά τους με μαρκαδόρο, ξεκινώντας να λύνουμε: το να λύσει κανείς τέτοια προβλήματα δεν είναι εύκολο, και αυτό το διαπιστώσαμε πολύ γρήγορα. Απαιτείται συστηματική μελέτη, σχεδιασμός, υπομονή και καθημερινή προσπάθεια. Άλλωστε τα προβλήματα είναι κατηγοριοποιημένα ανάλογα με τον βαθμό δυσκολίας τους, και θεωρητικά καλύπτουν μια περίοδο της ζωής ενός ανθρώπου από την παιδική του ηλικία, ως την όψιμη εφηβεία του. Από τότε το βιβλίο αυτό, το οποίο αξίζει να αναφέρω ότι συνέγραψε ο Boris Kordemsky και επιμελήθηκε στην αγγλική ο Martin Gardner (και οι δύο κορυφαίες προσωπικότητες στον τομέα της διδακτικής των μαθηματικών), βρίσκεται πάντα στον χαρτοφύλακά μου, όπου και να βρίσκομαι. Και είναι βέβαιο ότι και αν ακόμα έχω χάσει το τραίνο των μαθηματικών διαγωνισμών, το όφελος που αποσπώ τόσο στα πρώτα βήματά μου στην έρευνα, όσο και γενικότερα στην αντίληψή μου για τα μαθηματικά, είναι ανεκτίμητο. Ένα τέταρτο έως και μισή ώρα την ημέρα «ταλαιπωρώ» το μυαλό μου με αυτά τα παζλ, και το νιώθω, πραγματικά, σε εγρήγορση.

Θα μπω στον πειρασμό, και θα παραθέσω τρία από τα εύκολα προβλήματα, που δεν χρειάζονται μαθηματικές γνώσεις για να απαντηθούν, παρά μόνο υπομονή και συγκέντρωση. Είναι παρμένα από το πρώτο κεφάλαιο του βιβλίου, από τα «εύκολα» προβλήματα, που σκοπό έχουν να «διασκεδάσουν» (όπως αναγράφεται στον τίτλο του κεφαλαίου!). Νομίζω ότι αν σε κάθε τάξη στο σχολείο, αρχής γενομένης από την πρώτη δημοτικού ως την τρίτη λυκείου, υπήρχε υποχρεωτικό μάθημα (ωριαίο, μια φορά την εβδομάδα έστω) πάνω στην επίλυση μαθηματικών παζλ, δεν θα είχαμε απλά μια κορυφαία ολυμπιακή ομάδα: θα είχαμε πολίτες σε εγρήγορση, πολίτες σκεφτόμενους!

Πρόβλημα 1:

Ένα ξυπνητήρι χάνει τέσσερα λεπτά κάθε ώρα που περνά. Μέχρι και πριν τρεισήμισι ώρες έδειχνε την σωστή ώρα. Επιπρόσθετα, ένα ρολόι τοίχου, το οποίο δείχνει την σωστή ώρα, δείχνει αυτή την στιγμή δώδεκα η ώρα το μεσημέρι. Σε πόσα λεπτά από τώρα θα δείχνει, το ξυπνητήρι, δώδεκα η ώρα το μεσημέρι, στο πλησιέστερο λεπτό;

Λύση:  Μετά από μερικούς εύκολους υπολογισμούς, ο βιαστικός μαθητής θα δώσει την απάντηση «14 λεπτά». Δεν έχει ωστόσο προσέξει την τελευταία πρόταση «στο πλησιέστερο λεπτό», που σημαίνει ότι την στιγμή που ο λεπτοδείκτης φτάνει στο 12, εκείνη ακριβώς την στιγμή θα χάσει αυτόματα ένα περίπου ακόμα λεπτό. Έτσι μια πιο σωστή απάντηση είναι «15 λεπτά». Η δεύτερη απάντηση, «15 λεπτά», θα δοθεί από ένα άτομο που έχει μάθει να συγκεντρώνεται σε ένα πρόβλημα, και να επικεντρώνει την προσοχή του σε όλες τις λεπτομέρειές του, χωρίς να αποσπάται η σκέψη του.

Παραθέτω ακόμα δυο προβλήματα χωρίς λύση, ως ευχάριστη άσκηση για τους γενναίους αναγνώστες του μακροσκελούς αυτού άρθρου:

Πρόβλημα 2:

Ένα στρατιωτικό απόσπασμα πρέπει να διασχίσει έναν ποταμό. Η γέφυρα είναι κατεστραμμένη και το νερό βαθύ.  Είναι επείγον να περάσουν στην απέναντι όχθη σύντομα. Τί μπορούν να κάνουν άραγε; Αίφνης, ο υπεύθυνος αξιωματικός αντιλαμβάνεται δυο αγόρια, να παίζουνε με μια σχεδία, κοντά στην ακτή. Η σχεδία είναι αρκετά μικρή, έτσι ώστε μπορεί να κρατήσει το πολύ δυο αγόρια ή έναν στρατιώτη. Τελικά όλοι οι στρατιώτες κατάφεραν να περάσουν το ποτάμι, χρησιμοποιώντας την σχεδία. Με ποιόν τρόπο;

Πρόβλημα 3

Ένα τραίνο αφήνει την Μόσχα για την Αγία Πετρούπολη, χωρίς στάση, με ταχύτητα 60 χιλιομέτρων ανά ώρα. Ένα άλλο τραίνο, αφήνει την Αγία Πετρούπολη, χωρίς στάση, με ταχύτητα 40 χιλιόμετρα την ώρα. Πόσο μακριά σε χιλιόμετρα θα βρίσκονται τα τραίνα, μεταξύ τους, μια ώρα πριν συναντηθούν;

Συμπεράσματα και Προτάσεις Επίλυσης του Προβλήματος (Αντί Επιλόγου)

Όταν ήμουν μικρότερος στην ηλικία, ο πατέρας μου μου διηγούταν ιστορίες για την θρυλική μορφή του μακαριστού Θεόδωρου Καζαντζή: ενός σπουδαίου Θεσσαλονικιού μαθηματικού, που ακολούθησε τον δρόμο του φροντιστού, ενώ άνετα θα είχε διαπρέψει στον ακαδημαϊκό τομέα, αν το διεκδικούσε. Ο πατέρας μου, μαζί με έναν παιδικό του φίλο (νυν καθηγητή σε ένα από τα πιο «δυνατά» τμήματα στην Ελλάδα, αποφοίτου του πανεπιστημίου του Harvard) επισκέπτονταν συχνά τον Θ. Καζαντζή στο φροντιστήριό του, και τους έβαζε να λύσουν μαθηματικούς γρίφους, προβλήματα πρακτικής αριθμητικής, ευκλείδειας γεωμετρίας και στερεομετρίας. Δεν τους πήρε ποτέ ούτε μία δεκάρα: ο ίδιος λάτρευε τα μαθηματικά, γι’ αυτό χαιρόταν όταν έβλεπε μαθητές που ενδιαφέρονταν για τα «εξωσχολικά» μαθηματικά. Τόσο ο πατέρας μου, όσο και όλοι όσοι υπήρξαν μαθητές του Θ. Καζαντζή, λάτρεψαν τα μαθηματικά. Αγάπησαν όλη αυτή την περιπέτεια, που ξεκινά από την σύλληψη ενός προβλήματος, περνά από την προσπάθεια επίλυσής του και καταλήγει στην τελική απόδειξή του. Θα ήθελα να σταθούμε λίγο εδώ: οι γενεές των πατεράδων μας είχαν την τύχη να καλλιεργήσουν την μαθηματική σκέψη υπό την εποπτεία πολύ σημαντικών δασκάλων. Μου κάνει εντύπωση, όταν ξεφυλλίζω τα πολλά βιβλία που μας άφησε ο Θ. Καζαντζής: πού μπορεί κανείς να βρει σήμερα τέτοια πρωτοτυπία, τέτοια διείσδυση στα έγκατα της μαθηματικής λογικής, τέτοια ποιότητα λόγου, τόσο ουσιαστική και βαθειά ανάλυση. Και αυτό φυσικά δεν εξαντλείται με τα συγγράμματα του Θ. Καζαντζή: έχω «κλέψει» τα βιβλία και τις σημειώσεις του πατέρα μου από τα φοιτητικά του χρόνια, διότι δεν έχω βρει πουθενά τόσο καλογραμμένα και μεστά σε περιεχόμενο κείμενα, όπως αυτά του μακαριστού Ν. Οικονομίδη ή του Ν. Πατεράκη. Τέτοια βιβλία δεν κυκλοφορούν πια.

Κάτι συμβαίνει λοιπόν! Κάποιοι ευθύνονται για τον μαθηματικό αναλφαβητισμό στην χώρα μας, που νομίζω ότι ξεκινάει από τις αρχές της δεκαετίας του ’80.

Δεν θα ήθελα να επιλογήσω κάνοντας πολιτικό σχολιασμό: θα ήταν λάθος μου, διότι η γενιά των πατεράδων μας έζησε σε εξίσου δύσκολες, ίσως και σε χειρότερες, συνθήκες από εμάς. Θαρρώ πως η λύση βρίσκεται σε εμάς τα Πρόσωπα και όχι στους θεσμούς. Πόσοι μαθηματικοί σήμερα αγαπούν πραγματικά το αντικείμενό τους; Πόσοι δάσκαλοι έχουν πραγματική γνώση της ευκλείδειας γεωμετρίας; Πόσοι καθηγητές γυμνασίου/λυκείου, θα αφιέρωναν τον ελεύθερό τους χρόνο για να παρουσιάσουν στους μαθητές τους μαθηματικά προβλήματα, σαν και αυτά της Μόσχας;

Σαν εκκολαπτόμενος μαθηματικός, θα μπω στον πειρασμό να παρουσιάσω τις προτάσεις που προτείνει η ταπεινότης μου αριθμημένες, έτσι απλά όπως τις σκέφτομαι:

1. Θα πρέπει να ενταχθεί η υποχρεωτική διδασκαλία μαθηματικών γρίφων (παζλ) στην πρωτοβάθμια και την δευτεροβάθμια εκπαίδευση, αρχής γενομένης από την πρώτη δημοτικού. Είναι βέβαιο ότι πέρα από μια δυνατή μαθηματική ολυμπιακή ομάδα, ο τόπος θα αποκτήσει έξυπνους ανθρώπους. Και εάν ακόμα το επίσημο Κράτος δεν ασπαστεί ποτέ μια τέτοια πρόταση, δάσκαλοι με μεράκι θα μπορούσαν να δώσουν τα κατάλληλα ερεθίσματα στους μαθητές, ώστε να «βρουν τον δρόμο» τους στον εξωσχολικό τους χρόνο. 
2. Είναι ανάγκη να επιστρέψει στην εκπαίδευση η συστηματική διδασκαλία της ευκλείδειας γεωμετρίας: λείπει σχεδόν από παντού, και συμβαίνει το εξής άτοπο: μαθηματικοί που περνούν στο πανεπιστήμιο μαθήματα μοντέρνας γεωμετρίας (π.χ. διαφορικής και αλγεβρικής), δεν έχουν ουσιαστικά εξασκηθεί ποτέ στην γεωμετρική επίλυση προβλημάτων. Ο τρόπος που διδάσκεται η γεωμετρία στο γυμνάσιο και στο λύκειο είναι επιεικώς απαράδεκτος και ανεπαρκής, παρά τις αρκετές ώρες διδασκαλίας των μαθηματικών. Ίσως να χρειαζόμασταν γι’ αυτό τεχνογνωσία από χώρες του πρώην ανατολικού μπλοκ, όπου διαπρέπουν σ’ αυτόν τον τομέα. Η Βουλγαρία και η Ρουμανία βρίσκονται στην Ε.Ε., κι έχουν πολύ μεγάλη παράδοση στην διδασκαλία της γεωμετρίας. Είναι άραγε δύσκολο να υπάρξει συνεργασία μεταξύ των Υπουργείων Παιδείας, αυτών των Κρατών, σε αυτόν τον τομέα τουλάχιστον;
3. Θα πρέπει να απομυθοποιηθούν τα μαθηματικά, να γίνουν επιτέλους παιγνίδι στα χέρια των παιδιών, και αυτό θα το καταφέρουν δάσκαλοι με μεράκι. Τα μαθηματικά δεν είναι για τους λίγους: είναι υποχρέωση του καθενός μας να εξασκεί «τα μαθηματικά του», σε καθημερινή βάση. Να εξασκείται δηλαδή στην Διάκριση, για το τί είναι περιττό και τί είναι τελικά χρήσιμο στην καθημερινότητά του. Η διαδικασία της επίλυσης ενός προβλήματος ξεκινάει από την έμπνευση, περνάει μέσα από την ίσως επίπονη προσπάθεια  «συμπλήρωσης των κενών» του παζλ και καταλήγει στην ηδονή της επίλυσης, στην χαρά της θέασης της ολοκληρωμένης εικόνας. Ας πιέσουμε το Κράτος προς αυτή την κατεύθυνση, αλλά ας μην περιμένουμε ουρανοκατέβατες λύσεις: υπάρχουν βιβλία μαθηματικών «παζλ» στα ράφια των βιβλιοπωλείων. Ας θέσουμε έναν ευγενή στόχο να δημιουργήσουμε τα δικά μας παζλ, τα «παζλ της Ελλάδας»...

Βιβλιογραφία και Σημειώσεις

[1] Solving Mathematical Problems: A Personal Perspective. Terence Tao, Oxford Mathematics (2006).

[2] Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, Kenneth Kunen, Studies in Logic and the Foundation of Mathematics, Elsevier, Vol 102, 1980

[3] Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking. Roger B. Nelsen, The Mathematical Association of America, 1993.

[4] Η εξεύρεση ενός μονοπατιού, που οδηγεί στην επίλυση ενός προβλήματος, μπορεί να εκφραστεί με το αρχιμήδειο «Έυρηκα».  Η ανακάλυψη ενός διεξόδου, μέσα στο σκοτεινό τούνελ της σκέψης, καλείται Έμπνευση, αλλά η έμπνευση από μόνη της δεν αποτελεί παρά το πρώτο βήμα στην δημιουργία. Από εκεί και μετά σειρά έχει ο λόγος, που έρχεται και δίνει σάρκα και οστά στην ιδέα, και την καθιστά δημιούργημα. Ο Διονύσης Σαββόπουλος αναφέρεται πάνω σ’ αυτό, στις ηχογραφημένες «Καταγραφές» του, όπου περιγράφει την διαδικασία της σύνθεσης ενός τραγουδιού. Στην αρχή έρχεται η μουσική, λίγα μέτρα: ρυθμός και μελωδία, τρεις τέσσερις μουσικές φράσεις, οι οποίες προετοιμάζουν τον Λόγο, που έρχεται να νοηματοδοτήσει το τραγούδι, να του δώσει σαφήνεια. Χρησιμοποιώντας σαν παράδειγμα την μουσική σύνθεση, βλέπουμε ότι η έμπνευση είναι απαραίτητη, όμως αποτελεί το πρώτο και σημαντικό βήμα, από τα δεκάδες, που πρέπει ν' ακολουθήσει ο δημιουργός, για να φτάσει στο επιθυμητό αποτέλεσμα: από εκεί και μετά η επεξεργασία των μοτίβων μπορεί να είναι μια επίπονη διαδικασία. Η δημιουργία φράσεων/προτάσεων απαιτεί τεχνικές γνώσεις. Η ενορχήστρωση δύναται να δώσει τελείως λανθασμένα συμπεράσματα και ίσως και τραγικά αποτελέσματα, αν δεν ακολουθεί κάποια φιλοσοφία, και πάνω απ' όλα, η πείρα ετών είναι αυτή που έρχεται και "δένει" τις τεχνικές γνώσεις, και μετατρέπει την σύνθεση σε κάτι ενιαίο. Οι μεγάλοι συνθέτες έγραφαν συνήθως συνεπτυγμένα για πιάνο, και περνούσαν τις μουσικές τους ιδέες στην παρτιτούρα άλλοτε με εξαιρετική ευχέρεια κι άλλοτε με κόπο. Η ενορχήστρωση ήταν θέμα αποκλειστικά χρόνου, διότι ήξεραν ακριβώς τί όργανο θα μπει και σε πιο σημείο, ακολουθώντας φυσικά την μουσική Παράδοση και εξέλιξη αιώνων. Όλα αυτά θα καταντούσαν ανιαρά και τεχνικά, ωστόσο, αν δεν προηγούταν η έμπνευση. Οπότε η στιγμή της έμπνευσης είναι βασική προϋπόθεση για την δημιουργία, αλλά η σωστή διαχείρησή της θα κρίνει εν τέλει το αποτέλεσμα.

[5] The Princeton companion to mathematics.  Edited by Timothy Gowers, June Barrow-Green and Imre Leader. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2008.

[6] http://betterexplained.com/ (Ηλεκτρονικό βιβλίο, Khalid Azad)

[7] Στην χώρα μας, και ιδιαίτερα στην επαρχία, πέρα από τον διαγωνισμό του Θαλή, για τον οποίο ενημερώνονται οι μαθητές την τελευταία στιγμή κυριολεκτικά (εμείς, σαν μαθητές της τρίτης γυμνασίου, ενημερωθήκαμε μια μέρα πριν τον διαγωνισμό), υπάρχει παντελής έλλειψη παιδείας στον τομέα αυτό. Αν και όντως είναι αξιόλογοι όσοι περνούν στην φάση του Ευκλείδη και του Αρχιμήδη, είναι βέβαιο ότι χάνονται πολλά ταλέντα στην πρώτη φάση, διότι δεν προετοιμάστηκαν ποτέ για διαγωνισμούς αυτού του τύπου. Είναι δυνατόν να περιμένουμε, φερ’ ειπείν, από ένα αγύμναστο παιδικό σώμα να λάβει μέρος σε έναν διαγωνισμό ενόργανης γυμναστικής; Και όμως, υπάρχουν παιδιά που έχουν τον κατάλληλο σωματότυπο για αυτό το άθλημα, αλλά κανείς δεν τους ενημέρωσε και δεν έλαβαν ποτέ το ερέθισμα για να ξεκινήσουν προπόνηση. Δεν ξέρω αν την ευθύνη, τουλάχιστον για τα μαθηματικά, την έχει η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία (Ε.Μ.Ε.) ή το εκάστοτε Υπουργείο Παιδείας. Σίγουρα υπάρχουν πολιτικές ευθύνες για το μεγάλο κενό Παιδείας, αλλά κρίνοντας από την δική μου εμπειρία, ποτέ κανένας δεν μ’ ενημέρωσε επαρκώς για τους μαθητικούς διαγωνισμούς της Ε.Μ.Ε. Ούτε δάσκαλοι στο δημοτικό, ούτε καθηγητές στο γυμνάσιο/λύκειο. Μήπως έχουν ευθύνη και οι ίδιοι οι δάσκαλοί μας;

[8] The Moscow Puzzles, Boris A. Kordemsky (Edited by Martin Gardner), Dover Publications, 1972.

[9] Αξίζει να σημειωθεί ότι ο φοιτητής αυτός κατάγεται από την Σρι Λάνκα, και η κουλτούρα του είναι ινδική: μια σημαντική λεπτομέρεια, που σχετίζεται άμεσα με το αντικείμενο αυτού του άρθρου, διότι ο συγκεκριμένος συγγραφέας είναι οπαδός του διαισθητισμού, όπως και οι μαθηματικοί που θεμελιώσανε την θεωρία συνόλων. Θεωρώ υποχρέωσή μου να αναφέρω ότι το συγκεκριμένο βιβλιαράκι μου το σύστησε ο πολύ καλός μου φίλος, Χάρης Καπολονάρης, όταν πίναμε καφε, ο οποίος αν και δεν είναι μαθηματικός, η αγάπη του για τα μαθηματικά τον έχει κάνει να ξεπερνά σε γνώσεις πολλούς μαθηματικούς. Τρανή απόδειξη ότι η μαθηματική γνώση (πρέπει να) ανήκει σε όλους!

(*) email kxp878[at]bham.ac.uk

* Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά το ηλεκτρονικό περιοδικό «Αντίφωνο», για την ευγενική του πρόσκληση να συγγράψω ένα άρθρο πάνω στην μαθηματική γλώσσα και την λογική, και να αναλάβω την αποκλειστική ευθύνη για το περιεχόμενό του.

πηγή: Αντίφωνο